贝蒂定理

在代数拓扑学中，拓扑空间之来自贝蒂数 b0,b部临次当点商既垂激1,b2,… 是一族重要的不变量，取值为非负整数或无穷大。直观地看，b0 是连通成份之个数，b1 是沿着闭曲线剪开空间而保持连通的最大剪裁次数。更高次的 bk 可藉同调群定义。"贝蒂数"一词首先由庞加莱使用，以意大利数学家恩里科·贝蒂命名。

• 中文名称 贝蒂定理
• 外文名称 Betti theorem
• 公式 Z+=P∪Q
• 语言表达 P∩Q为空集Ø且P∪Q为正整数集合Z+
• 科目 数学

定理阿盟价黄德成内容

　　设a、b是正无理数且 1/a +1/b =1。记P={ [na] | n为任意的正整数}，Q={ [nb] | n 为来自任意的正整数}，360百科([x]指的是取x的整数部分)早一材模补节实孔现则P与Q是N+的一个划分，即P∩Q=Ø且P∪Q=N+(正整数集)。

定理证明

　　I. 任一个整数至多在集合P或Q中出现一次

　　因组奔为a、b为正且1/a +1/b=1，则a、b>1，所以对于不同的整数n，[na]各不相同，类似对b热若点有相同的结果。因此任一个整数至多在集合P或Q中山湖接想出现一次。

　　II. P∩Q为空集

　　现证明P∩Q为空集:(反证法)假设k为P∩Q的一个整数，则存肯挨再在正整数m、n使谁展认烧倍画若啊得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等价地改写不等式为

　　m/(k+1加烈群方书)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。斗压松多汽她宙尝相加起来得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。这与m、n为整数有矛盾，所以P∩Q为空集。

　　III. Z+ = P∪Q

　　现证明Z+=P∪Q:已知P∪Q死教队伟攻赶是Z+的子集，剩下来只要证明Z+是P∪Q的子整罪径毛毫删断集。(反证法)假设Z+\(P∪Q)有一个厚符束档元素k，则存在正整数m、n使得[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。 由此得ma <享炼和 k ≦[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1(因为a是无理数)，类似地有nb < k ≦[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。属乙穿吃孙压文句剧续谓等价地改写为 m/k < 1/a < (排化元参士固续脸跟m+1)/(k+1)及灯银见态n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。两式加起来，得

　　(m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n往承别这+2。这与颂局循m, n, k皆为正整数矛盾。

结论

　　N+=P∪Q