法雷级数

法雷级数，是指每一行从0/1开始，以1/1作二行天周阶季日结尾，其它数自左至右将制吃预步吸解弱告轴所有的真分数按增加顺序排列；第n行是由所停有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。

• 中文名 法雷级数
• 名词类型 定义概念
• 书    籍 《数学中的智巧》
• 名词领域 数学

定义

　　R.来自亨斯贝尔格著李忠翻译的《数学中的智巧》一书，介绍了法雷级数。这里每一行从0/1开始，以1/1结尾，其它数自左至右将所有的真分数按360百科增加顺序排列;第n行是由所有分母小于或等于n的真分数组成，我们称为n阶法雷级数。如下表:

　　F1: 0/1 1/1

　　F2: 0/1 1/2 1/1

　　F3: 0引以期误资味职新物单创/1 1/3 1/2 2/3 1/1

　　F4: 0/1 1/4 1/3 1/2 2/3 3/4 1/1

　　F5: 0/1 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1/1

　　F6:0/1 1/6 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 5/6 1/1

　　…… ………………………………

　　这里我们想问的是第n行Fn的真分数的个数有多少个呢?

致　　我们设Fn的吃留修否零基航个数为ψ(n), ψ(n)比 ψ(n-1)增加的个数是分母是n，分子比n小且与n互质的数的个数，这正是欧拉函数φ(n)。即

标义殖弱好　　ψ(n)=ψ(n-1)+ φ(n)

　　ψ(1)=1+φ(1)

　　ψ(2)=ψ(1)+φ(2)

　　ψ(3)=ψ(2)+φ(3)

　　………………

　　ψ(n)= ψ(n-1火院本朝支维啊站露则含)+ φ(n)

　　所以 ψ(n)=1+φ(1)+φ(2)+φ(3)+知点切级露大方难工盟么……+φ(n)很容易证明，当n≥3时，欧拉函数φ(n)是个偶数。由此米我们得到除ψ(1)=2是偶数外，法雷级数其它各级的个数都是奇数，并且许多是素数。ψ(1)=2，ψ(2)=3，ψ(3)=5，ψ(4)练委位洲或只核石玉务=7，ψ(5)=11，ψ(6)=13，ψ(7)=19，ψ(8)=23留沙翻及错率溶晚湖务，ψ(9)=29，……。

性营质

　　法雷级数Fn具有很多美妙的性质，下面是一些常见的性质:

　　1.如果a/b,c/d是相邻的两项，则abs(a*d-b*c)=1。

　　2.如果a/b,c/d,e/f是相邻的三项，则 (a+e)/(b+f)=c/d，特别的，如果c/d是新添加的，即c/d不属于F(n-1)，则c=a+e;d=b+f。

　　性质2对于这个问题至关重要，它的证明可以触裂石更若况湖量想困带参见哈代(Hardy)写的数论导引第三章

　　关于Farey级数的介绍。根据这条性质可以知道，丛F(n−1)到F(n)的构造过程中，F(n)的新项的分母一定是其相领两项的分母和。另一方面，如果F(n−1)中的相邻两项 a/b,c/d, b+d=n,则(a+c)/n一定会被添加到F(n)中。